Решение задачи #58397
Найдите наибольшее натуральное число k, чтобы любые положительные числа, удовлетворяющие неравенству a2 > bc, удовлетворяли также неравенству (a2–bc)2 > k(b2–ca)(c2–ab).
(a2–bc)2 > k(b2–ca)(c2–ab)
(a2–bc)2 : (b2–ca)(c2–ab) > k
| k < | (a2–bc)2 (b2–ca)(c2–ab) |
Из условия известно, что a2 > bc, или точнее a2–bc > 0, значит числитель в большой дроби будет положительным, а чтобы k в итоге стало тоже положительным числом, то и знаменатель должен быть положительным:
(b2–ca)(c2–ab) > 0
| { | b2–ca > 0 |
| c2–ab > 0 |
| { | a < b2/c |
| a < c2/b |
| b2 c | = | c2 b |
b3 = c3
b = c
Если предположить, что обе части меньше нуля, то эффект будет тот же:
| { | b2–ca < 0 |
| c2–ab < 0 |
| { | a > b2/c |
| a > c2/b |
Подставим вместо "c" -> "b" и получим:
| k < | (a2–b2)2 (b2–ab)(b2–ab) |
| k < | (a–b)2(a+b)2 b2(b–a)2 |
| k < | (a+b)2 b2 |
a и b не могут быть равны, так как по условию a2 > b2.
Числитель и знаменатель в квадрате и будут всегда положительными, значит эта дробь всегда даст положительный знак, поэтому "k" может принять лишь минимальное натуральное положительное число 1.
Теги задачи:
Решение других задач: