Решение задачи #76583
Найдите натуральное число N, для которого N+53 И N-36 - полные квадраты.
Пусть a2 - это выражение (N + 53) и b2 - это (N - 36). Чтобы избавиться от переменной N, нужно вычислить разность выражений, а значит и разность квадратов:
(N + 53) - (N - 36) = a2 - b2
53 + 36 = a2 - b2
a2 - b2 = 89
Разложим разность квадратов и число 89 на множители.
(a - b)(a + b) = 1 * 89
Один из множителей будет равен 1, второй 89, так как число 89 - простое.
Вариант №1:
| { | a - b = 1 |
| a + b = 89 |
| { | a = 1 + b |
| (1 + b) + b = 89 |
| { | a = 1 + b |
| 2b = 88 |
| { | a = 1 + 44 |
| b = 44 |
| { | a = 45 |
| b = 44 |
Вариант №2:
| { | a - b = 89 |
| a + b = 1 |
| { | a = 89 + b |
| 89 + b + b = 1 |
| { | a = 89 + b |
| 2b = -88 |
| { | a = 89 - 44 |
| b = -44 |
| { | a = 45 |
| b = -44 |
44 или -44 - не важно, так как число в квадрате даст одинаковый результат. Определим число N, используя либо один вариант, либо другой:
N + 53 = 452
N = 1972
Проверим через второй вариант.
1972 - 36 = 442
1936 = 1936
Ответ: N = 1972
Теги задачи:
Решение других задач: