Решение задачи #77196

В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 7.

AB = CD = 7 (т.к в параллелограмме боковые стороны равны)

Угол MAD = 60:2 = 30(°) - так как биссектриса угла, равного 60° делит его пополам. Противоположный угол BCD = BAD = 60 градусов, так как противоположные углы параллелограмма равны.

Угол ABM = CDA = 120 градусов, так как смежные углы параллелограмма в сумме дают 180 градусов (180 - 60 = 120).

Два отрезка АМ и DM перпендикулярны, получается прямоугольный треугольник AMD, причем его угол MDA = 90 - 30 = 60(градусов), а значит угол CDM = 120 - 60 = 60(градусов).

Еще отрезки делят параллелограмм на один равнобедренный треугольник (ABM, так как угол BAM = 30 градусов, ABM = 120 градусов, значит третий угол равен 180 - 120 - 30 = 30градусов, а если два угла треугольника равны, то он равнобедренный) и на один равносторонний треугольник (MCD = CDM = 60 градусов, значит и DMC = 180 - 60 - 60 = 60градусов).

Таким образом, AB = BM = 7, AB = CD = MC = 7, отсюда BC = BM + MC = 7 + 7 = 14

Так как перед нами параллелограмм, то AD = BC = 14, отсюда периметр равен:

7 + 14 + 7 + 14 = 42

Ответ: периметр равен 42.

Теги задачи:

Параллелограмм

Решение других задач:

В параллелограмме АВСD точка М делит сторону СB в отношении СМ : MB = 3 : 2. Найдите площадь ABCD, если площадь АВМD равна 21.

Помочь сайту