Решение задачи #57524

В треугольнике ABC известны углы ∠B=30∘ и ∠A=90∘. На стороне AC отмечена точка K, а на стороне BC — точки L и M так, что KL=KM (точка L лежит на отрезке BM). Найдите длину отрезка LM, если известно, что AK=5, BL=31, MC=3.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC с углом в 30 градусов. Гипотенуза BC в таком треугольнике равна:

BC = AC : sin30℃ = AC : (0.5) = 2AC

Сторона AC неизвестна, но она равна сумме:

AC = AK + KC = 5 + KC;

Отсюда гипотенуза равна:

BC = 2AC = 10 + 2KC

Также гипотенуза BC равна сумме образовавшихся отрезков:

BC = BL + LM + MC = 31 + LM + 3 = 34 + LM

Давайте проведем высоту из точки K к стороне LM, назовем полученную точку Z. Высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, значит LZ = ZM. Треугольник ABC подобен треугольнику KZC, так как у них общий угол (BCA = ZCK) и второй угол = 90градусов. Значит угол ZKC = 30градусов, откуда можно найти ZC:

KC = CZ : sin30℃ = CZ : (0.5) = 2CZ

CZ равен сумме CM и MZ. Мы определили, что MZ = LZ, значит MZ = 0.5LM

KC = 2CZ = 2(CM + 0.5LM) = 2*3 + LM = 6 + LM

Ранее мы нашли два равенства BC, приравняем их и подставим KC:

10 + 2KC = 34 + LM

10 + 2(6 + LM) = 34 + LM

22 + 2LM = 34 + LM

LM = 12

Ответ: LM = 12.

Теги задачи:

Треугольник

Общие геометрические задачи

Решение других задач:

Основой пирамиды является прямоугольный треугольник катеты которого равны 8 см и 6 см. Найдите высоту пирамиды если все ее боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°

Помочь сайту