Решение задачи #57815

У Тани был набор одинаковых палочек. Она сложила из них большой треугольник, каждая сторона которого состоит из 17 палочек, и выложила внутри треугольника узор так, что треугольник оказался разбит на треугольнички со стороной 1 палочка (на рисунке - пример такого узора для треугольника со стороной 3 палочки). Сколько всего палочек использовала Таня?

Сначала подсчитаем все палочки, используемые для создания правильного треугольника. Правильный потому, что все его стороны равны 17 палочкам.

17 * 3 = 51(палочек)

Внутри треугольника добавлены маленькие треугольники по одной палочке на сторону и расположены примерно с таким отступом (рисовал левой ногой).

У Тани был набор одинаковых палочек. Она сложила из них большой треугольник, каждая сторона которого состоит из 17 палочек

Треугольников побольше, но главное отобразил суть. На примере понятно, что каждый ряд у стороны большого треугольника имеет на 1 треугольник меньше, чем использовано палочек для данной стороны. Также стоит отметить, что чем ближе к углу, тем меньше треугольников в ряду.

Посчитаем количество треугольников внутри:

16 + 15 + 14 + 13 + ... + 2 + 1 = 136(треугольников)

Это можно выразить формулой арифметической прогрессии, если такую уже проходили:

S_n =

(a₁ + a_n) * n
2

17 * 8 = 136

S₁₆ =

(1 + 16) * 16
2

Каждый треугольник состоит из 3 палочек.

136 * 3 = 408 (палочек)

Теперь сложим их с тем, что имеем от большого треугольника.

408 + 51 = 459 (палочек)