Решение задачи #62248

В магазин привезли бананы, апельсины и яблоки. Известно, что общее количество всех этих фруктов чётное: больше 60 и меньше 125. Сотрудники магазина разложили все фрукты по пяти прилавкам таким образом, что на каждом прилавке обязательно лежат фрукты всех трёх видов. Оказалось, что число апельсинов на каждом прилавке равно общему числу яблок на всех остальных прилавках, а число яблок на каждом прилавке равно общему числу бананов на всех остальных прилавках. Сколько фруктов привезли в магазин?

Б - бананы, А - апельсины, Я - яблоки.

60 < А + Я + Б < 125

Общее число каждого фрукта равно сумме фруктов на каждой из пяти полок.

А1 + А2 + А3 + А4 + А5 = А

Я1 + Я2 + Я3 + Я4 + Я5 = Я

Б1 + Б2 + Б3 + Б4 + Б5 = Б

Известно, что апельсины на любой полке равны числу яблок на всех остальных полках, а яблоки на каждой полки - сумма бананов на других полках. Получим длинную сумму:

А + Я + Б = (А1 + А2 + А3 + А4 + А5) + (Я1 + Я2 + Я3 + Я4 + Я5) + (Б1 + Б2 + Б3 + Б4 + Б5) = ((Я2 + Я3 + Я4 + Я5) + (Я1 + Я3 + Я4 + Я5) + (Я1 + Я2 + Я4 + Я5) + (Я1 + Я2 + Я3 + Я5) + (Я1 + Я2 + Я3 + Я4)) + ((Б2 + Б3 + Б4 + Б5) + (Б1 + Б3 + Б4 + Б5) + (Б1 + Б2 + Б4 + Б5) + (Б1 + Б2 + Б3 + Б5) + (Б1 + Б2 + Б3 + Б4)) + Б1 + Б2 + Б3 + Б4 + Б5 = 4(Я1 + Я2 + Я3 + Я4 + Я5) + 5(Б1 + Б2 + Б3 + Б4 + Б5) = 4 * 4(Б1 + Б2 + Б3 + Б4 + Б5) + 5(Б1 + Б2 + Б3 + Б4 + Б5) = 21(Б1 + Б2 + Б3 + Б4 + Б5)

Получили число, кратное 21. Среди чисел от 60 до 125 найдем четное число, кратное 21.

60 : 21 > 2

125 : 21 < 6

Так как 21 - число нечетное, оно должно быть умножено на четное, чтобы получить четное число. Среди чисел 3, 4 и 5 четным является только "4".

21 * 4 = 84

Об этом часто пишут на почту и я в целом согласен. Проблема ответа в том, что 4 банана сложно разложить на 5 полок. Всё из-за условий:

60 < (наши фрукты в четном количестве) < 125, т.е ограничения строгие.

Апельсины на прилавках = яблоки на всех других прилавках, яблоки — бананы на других прилавках.

Допустим, бананов всё-таки 5, т.е Б1 = 1, Б2 = 1 и т.д, в сумме их 5. Тогда яблок будет 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20. Апельсины: 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80. Всего фруктов будет 80 + 20 + 5 = 105. Подходит под ограничение в количестве, но 105 — число нечетное. И это наш минимум, т.е бананов по одному, меньше не бывает.

Допустим, бананов на одном из прилавков будет 2, т.е всего на один больше, тогда соответственно:

Б1 + Б2 + Б3 + Б4 + Б5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6

Я1 + Я2 + Я3 + Я4 + Я5 = 5 + 5 +5 + 5 + 4 = 24

А1 + А2 + А3 + А4 + А5 = 19 + 19 + 19 + 19 + 20 = 96

Всего: 96 + 24 + 6 = 126. Подходит по четности, не подходит по ограничениям. Выходит, что при минимальном кол-ве бананов и при ближайшем увеличении их числа результат неверный, остается лишь допустить, что на одном прилавке будет 0 бананов, или же на каждом их неполное кол-во.

Поэтому, если не хотите неправильного ответа - укажите это доказательство того, что вопрос изначально подводит под неверный ответ. Если фруктов будет меньше либо равно 126, тогда ладно - последняя гипотеза будет верна, а пока что в ответе 84 фрукта, из которых 4 банана. Пусть учитель делит их на полках как угодно.

Ответ: общее количество фруктов равно 84.

Теги задачи:

Сложные или олимпиадные задачи

Решение других задач:

В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мыши и съели 4 головки сыра, причём все съели поровну. Следующий ночью пришли не всё мыши, а только 9 и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько сыра хранилось в погребе?

Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил 408. Какое число загадал Вова?

Помочь сайту