Решение задачи #64431

Параллелограмм ABCD сложили по диагонали BD так, что вершина C осталась на месте, а вершина A заняла положение A′. Отрезки BC и A′D пересеклись в точке K, причём BK:KC=5:2. Найдите площадь треугольника A′KC, если площадь параллелограмма ABCD равна 42.

Развернув один треугольник параллелограмма мы получаем еще один треугольник с теми же размерами, т.е A'B = AB, A'D = AD и общая BD.

Так как изначальная фигура - параллелограмм, то второй его треугольник также будет равен развернутому -> CD = A'B, BC = A'D и общая BD.

Недопровел одну линию, но в случае чего - A'C тоже соединены.

В итоге получается равнобедренная трапеция BA'CD, у которой по определению диагонали перпендикулярны и равны. Да, угол A'KC - прямой. На рисуночке поправьте. Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание. Пусть основание состоит из "x" частей. Так как BK относится к KC как 5 к 2, то полное основание равно: 5x + 2x = 7x, а высота - это DK, которая как мы выяснили равна BK - т.е 5x. Отсюда площадь параллелограмма равна:

S_ABCD = 7x * 5x = 35x²

35x² = 42

x² = 1.2

x = √1.2

A'K = KC, так как полученный треугольник - равнобедренный. А так как он еще и прямоугольный, то его площадь можно посчитать как половину произведения его катетов:

S = 0.5 * 1.2 = 0.6(см²)

Ответ: площадь A′KC = 0.6см².

Теги задачи:

Арифметический корень