Решение задачи #74579

Дан треугольник, вершины которого являются центрами окружностей, попарно касающихся друг друга внешним образом. Радиусы этих окружностей равны 3, 5 и 12. Найди радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Не нарисую, но надеюсь вы разберетесь. Нужен любой треугольник с абсолютно разными сторонами, одна маленькая, вторая средняя, третья большая. Центр каждой точки - это центр окружности, все окружности касаются друг друга на сторонах треугольника.

Радиус каждой окружности является частью одной из сторон треугольника, а сумма двух взятых радиуса разных окружностей - это и есть сторона треугольника. Допустим, в треугольнике ABC стороны будут равны:

AB = 3 + 5 = 8

BC = 5 + 12 = 17

AC = 3 + 12 = 15

Радиус вписанной в треугольник окружности можно посчитать по формуле:

S = 0,5p * R, где S - площадь треугольника, p - периметр треугольника пополам, R - радиус вписанной окружности.

R = S : (0,5p)

Площадь треугольника через известные три стороны также можно рассчитать по формуле:

S = √p(p - AB)(p - BC)(p - AC), где p - полупериметр.

Найдем этот полупериметр треугольника и найдем всё остальное.

p = P:2 = (AB + BC + AC):2 = (8 + 17 + 15):2 = 20

S = √p(p - AB)(p - BC)(p - AC) = √20 * 12 * 3 * 5 = √20 * 12 * 3 * 5 = √3600 = 60

R = 60 : (0,5 * 20) = 6