Решение задачи #74586

В столовую школы города N поступили 5 мешков с мукой. В школе были весы, но не хватало гирь, чтобы отвесить груз между 50кг и 100кг. Вес каждого мешка составлял целое число килограммов. Мешки стали взвешивать парами, веса которых составили 110кг, 112кг, 113кг, 114кг, 115кг, 116кг, 117кг, 118кг, 120кг, 121кг. Сколько весил каждый мешок в отдельности?

Допустим:

{	М₁ + М₂ = 110
	М₁ + М₃ = 112
	М₁ + М₄ = 113
	М₁ + М₅ = 114
	М₂ + М₃ = 115
	М₂ + М₄ = 116
	М₂ + М₅ = 117
	М₃ + М₄ = 118
	М₃ + М₅ = 120
	М₄ + М₅ = 121

Пары могут быть взяты неверно, но суть примерно одна: мы имеем вес пар, нам нужно найти общий вес и из него вычитать по 2 пары весов, получая тем самым оставшийся пятый вес.

Сложим все пары и получим несколько одинаковых мешков.

(М₁ + М₂) + (М₁ + М₃) + (М₁ + М₄) + (М₁ + М₅) + (М₂ + М₃) + (М₂ + М₄) + (М₂ + М₅) + (М₃ + М₄) + (М₃ + М₅) + (М₄ + М₅) = 110 + 112 + 113 + 114 + 115 + 116 + 117 + 118 + 120 + 121

4(М₁ + М₂ + М₃ + М₄ + М₅) = 1156

М₁ + М₂ + М₃ + М₄ + М₅ = 289

Получив сумму весов всех мешков, вычтем из нее 2 пары. Сначала попробуем случайные, из системы, например 1, 2, 3 и 4, чтобы получить вес 5-го мешка. Дальше не писать, будет просто проверка.

М₁ + М₂ + М₃ + М₄ + М₅ - (М₁ + М₂) - (М₃ + М₄) = 289 - 110 - 118

М₅ = 61

Проверим по значениям

М₁ + 61 = 114

М₁ = 53

М₂ + 61 = 117

М₂ = 56

М₁ + М₂ = 110

53 + 56 = 110

109 = 110 - не верно

Значит пары, выбранные изначально - не верно подобраны. Попробуем определить самые легкие из пар мешков и самые тяжелые. Допустим, первый мешок самый легкий, последний самый тяжелый. Добавляя к первому мешку второй, можно получить самую низкую сумму 110кг, а к последнему мешку предпоследний - самый тяжелый результат в 121кг, отсюда вычислим величину третьего мешка. Рассуждения закончились, тут можно записывать.

М₁ + М₂ + М₃ + М₄ + М₅ - (М₁ + М₂) - (М₄ + М₅) = 289 - 110 - 121

М₃ = 58

Теперь найдем остальные веса через третий мешок.

М₁ + 58 = 112

М₁ = 54

М₂ = 110 - 54 = 56

М₁ + М₄ = 113

М₄ = 113 - 54

М₄ = 59

М₅ = 121 - М₄ = 121 - 59 = 62

Теперь всё сходится. Можно проверить, как должна была выглядеть система изначально. Можно не писать.

{	М₁ + М₂ = 110
	М₁ + М₃ = 112
	М₁ + М₄ = 113
	М₁ + М₅ = 116
	М₂ + М₃ = 114
	М₂ + М₄ = 115
	М₂ + М₅ = 118
	М₃ + М₄ = 117
	М₃ + М₅ = 120
	М₄ + М₅ = 121

Ответ: мешки весят 54кг, 56кг, 58кг, 59кг, 62кг.

Теги задачи:

Сложные или олимпиадные задачи

Решение других задач:

С числом разрешается проделывать две операции — умножать на 2 или вычитать 1. При этом запрещается получать числа, в десятичной записи которых есть цифра 5. Изначально записано число 1. Может ли после некоторого количества операций получиться число, большее 100000?

В качестве мер длины в лагере «Лукоморье» используются единицы традиционной русской системы мер верста, сажень, аршин, локоть. Для простоты можно считать, что 1 верста = 500 саженей, 1 сажень = З аршина, 1 аршин = 2 локтя. Известно, что 1 сажень — примерно 2 метра. До сколько раз три сажени длиннее двух аршинов? Смотритель Заповедного Леса Леший часто использует поговорку «Завтра в поход: три версты без привалу». Выразите З версты в метрах. На занятии по магическому труду Леший дал задание разметить участок под создание нового болота для Царевны-Лягушки. Размеры участка: 0.35 версты в длину и 100 саженей в ширину. Найдите площадь будущего болота, считая участок прямоугольным. Ответ выразите в квадратных саженях, округлите до целых. Выразите площадь болота в квадратных километрах. Ответ округлите до сотых. После разметки участка работу принимала Царевна-Лягушка. Она потребовала добавить к болоту два дополнительных участка: один прямоугольный под водопад размером 2 сажени 6 локтей в длину и 6 аршинов 2 локтя в ширину; второй квадратный под джакузи со стороной З аршина З локтя. На сколько квадратных метров увеличилась общая площадь болота? Ответ округлите до целых.

Помочь сайту